REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів




src="i/21/744f068dd.gif"> (1.94)

або після підстановки u в рівняння матимемо рівняння цього класу поверхонь у параметричній формі:

Комп'ютерна графікаКомп'ютерна графіка (1.95)

Рівняння циліндра, вісь якого збігається з Оz, у неявній формі мас вигляд

Комп'ютерна графіка (1.96)

а в параметричній формі

Комп'ютерна графіка (1.97)

Рівняння гіперболічного параболоїда в явній формі

Комп'ютерна графіка (1.98)

Розглянемо інші класи поверхонь, що задають внутрішнім рівнянням у спеціальних координатах. Внутрішні рівняння класів та підкласів поверхонь в узагальнених циліндричних та гіперболічних координатах, як правило, збігаються. Внутрішні рівняння можна діставати в явній, неявній та параметричній формах. У параметричній формі параметр t є одним з функціональних параметрів, а другим параметром є інший, який відрізняється від змінних u та v.

Для переходу до параметричної форми задання у прямокутних декартових координатах треба внутрішні рівняння підставити у формули, що виражають залежність прямокутних декартових координат від узагальнених циліндричних чи гіперболічних координат,

Лінійчаті поверхні задають рівнянням

Комп'ютерна графіка (1.99)

Внутрішні рівняння підкласів лінійчатих поверхонь дістають при певних значеннях функцій Комп'ютерна графіка та Комп'ютерна графіка. Якщо

Комп'ютерна графіка (1.100)

то маємо поверхні однакового нахилу до площини хОу.

Якщо Комп'ютерна графіка (1.101)

то маємо поверхні з площиною паралелізму х0у. Якщо

Комп'ютерна графіка (1.102)

то маємо однопорожнинний гіперболоїд обертання.

Розгортні поверхні в узагальнених циліндричних координатах задають рівняннями

Комп'ютерна графіка (1.103)

а в гіперболічних координатах — рівняннями

Комп'ютерна графіка (1.104)

Внутрішні рівняння ребра обертання цієї поверхні знайдемо підстановкою u = 0 в рівняння (1.103) або (1.104) відповідно.

Циліндр в узагальнених циліндричних координатах, однопорожнинний гіперболоїд у гіперболічних:

u=c=const, v=v. (1.105)

Гвинтові поверхні в узагальнених циліндричних та квазігвинтові поверхні в гіперболічних координатах:

v=f(u)+kt. (1.106)

Зокрема, якщо f(u) = bu(b=const), то маємо лінійчату поверхню

v=bu+kt. (1.107)

Розгортні гвинтові поверхні в узагальнених циліндричних координатах:

Комп'ютерна графіка. (1.108)

Розгортні квазігвинтові поверхні в гіперболічних координатах:

Комп'ютерна графіка. (1.109)

Циклічними називають поверхні, що утворюються колом.

Якщо коло як твірна має сталий радіус, то циклічну поверхню називають трубчастою.

Циклічну поверхню, циклічний каркас якої збігається із сім'єю ліній кривини, називають каналовою.

Циклічні поверхні в неявній формі задають рівнянням

Комп'ютерна графіка. (1.110)

При (t) = соnst маємо трубчаті поверхні:

Комп'ютерна графіка. (1.111)

Якщо Комп'ютерна графіка то дістаємо поверхні обертання:

Комп'ютерна графіка. (1.112)

ЯкщоКомп'ютерна графіка то маємо гвинтові чи квазігвинтові циклічні поверхні:

Комп'ютерна графіка. (1.113)

Якщо Комп'ютерна графіка, то маємо каналові поверхні в узагальнених циліндричних координатах:

Комп'ютерна графіка, (1.114)

а якщо Комп'ютерна графіка то каналові поверхні в гіперболічних координатах:

Комп'ютерна графіка. (1.115)

Різьблену поверхню Монжа в узагальнених циліндричних координатах задають рівнянням

Комп'ютерна графіка, (1.116)

зокрема, циклічну

Комп'ютерна графіка (1.117)

а гелікоїд

Комп'ютерна графіка (1.118)

Багатогранні поверхні. Узагальнені циліндричні й гіперболічні координати застосовують відповідно для задання правильних призм і пірамід.

Визначником правильної призми доцільно вважати: r—радіус вписаного в призму циліндра, який може бути внутрішнім параметром узагальненої циліндричної системи: tn — кутовий параметр однієї з граней (кут між площиною хОz та променевою площиною, що проходить через 0z і лінію дотику деякої грані призми та циліндра системи); h -- висота призми. При цьому вважають, що нижня основа призми лежить на площині х0у. а верхня па площині z= h; n -- кількість гранєй.

Рівняння граней призми дістанемо у вигляді (1.87), надаючи t таких значень:

Комп'ютерна графіка. (1.119)

Якщо підставимо у рівняння (1.88) значення ti з рівняння (1.119) та

Комп'ютерна графіка (1.120)

то матимемо рівняння ребер призми.

Визначником пранильноїпірашди є:  -кут нахилу грані до осі Оz, що збігається з внутрішнім параметром гіперболічної системи, tn — кутовий параметр однієї з гра-ней (кут між площиною хОу і променевою площиною, що проходить через Оz. та лінію дотику деякої грані до конуса системи), h— висота піраміди. Вважають що вершина піраміди лежить у початку координат, а основа — на площині.

Рівняння граней піраміди дістанемо у вигляді (1.88), надаючи t значення з рівняння (1.119).

Рівняння ребер піраміди знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві точки S(0, 0, 0) та Аі (хі, уі, zi):

Комп'ютерна графіка (1.121)

де xi, yi, визначають підстановкою значень ti з формули (1.119): v =-h та

Комп'ютерна графіка . (1.122)

Алгоритми розв'язання позиційних задач

Перетин кривих поперхонь площиною.

Якщо поверхня задана у прямокутних декартових координатах явною чи неявною формою, а січна площина — будь-яким визначником, то взявши координати трьох неколінійних точок, що належать січній площині, обчислимо коефіцієнти А, В, С, D за формулами (1.85) і дістанемо рівняння січної площини в неявній формі (1.83).

Визначимо тип системи, в якій січна площина є площиною рівня, а також обчислимо параметр відповідної системи спеціальних координат. У результаті матимемо рівняння січної площини в параметричній формі. Підставивши здобуті вирази у рівняння поверхні зведемо його до рівняння з двома змінними u та v. Якщо це рівняння можна розв'язати відносно однієї із змінних, тобто знати функцію v = v(u), то, надаючи u значення і деяким кроком маємо відповідні значення. Оскільки uOv є прямокутною декартовою системою на січній площині, то лінія перетину, віднесена до цієї системи, визначається в натуральному вигляді. Що6 скласти її рівняння у просторі, треба підставити відповідні значення u та v в параметричні рівняння січної площини. Приклад.

Нехай треба знайти рівняння лінії перетину центральної поверхні обертання другого порядку (1.93) і площини, заданої трьома точками M0(x0, y0, z0), M1 (x1, y0, z1), M2 (x2, y2, z2). Застосування


 
Загрузка...