REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів




src="i/21/e53cd4f07.gif">. (1.129)

Визначення лінії, обвідної проекції поверхні. Нехай поверхня задана в параметричній формі:

Комп'ютерна графіка (1.130)

Як було показано, явна форма задання поверхні є окремим випадком задання у формі (1.130). До форми (1.130) приводить також задання поверхні внутрішнім рівнянням у спеціальних координатах.

Застосовуючи формули відповідного точкового перетворення простору при проекціюванні, можна записати

Комп'ютерна графіка. (1.131)

де х, у -- прямокутні декартові координати проекцій точок; f, — функції, що реалізують ланцюжок —одну з функцій -- (1.128), (1.129).

Проаналізувавши вирази (1.131), дійдемо висновку, що ці рівняння відповідають

рінянням двох сімей ліній u=const, t=const Кожна сім'я залежить від одного параметра. Як відомо, такі сім'ї мають обвідну, рівняння якої

Комп'ютерна графіка. (1.132)

Обвідна (1.132) поділяє точки на поверхні (1.130) на два класи, що визначаються знаком нерівності, в яку перетворюється ліва частина (1.132) після підстановки внутрішніх координат u, t довільної точки на поверхні. Отже, в результаті підстановки внутрішніх координат u, t точки на поверхні ліву частину (1.132) дістанемо один з трьох випадків:

І=0, (1.133)

коли точка належить обвідній. За цієї умови можна скласти рівняння обвідної і побудувати її:

І>0, (1.134)

коли точка є видимою на проекції;

І<0, (1.135)

коли точка невидима на проекції.

Випадок (1.134) або (1.135) завжди можна дістати множенням лівої частини (1.132) на -1.

Підкреслимо, що тут ідеться про потенціальну видимість, тобто не враховується випадок, коли інша поверхня закринає собою розглядувану поверхню при проекціюванні.

У табл. 1.1 наведено приклади застосування форм задання та алгоритму визначення видимості найпоширеніших поверхонь.

Для більшої наочності на поверхнях відтворено сітку координатних ліній, завдяки застосуванню алгоритму визначення видимості на проекціях відтворена зовнішність поверхні, а для таких поверхонь, як параболоїд, катеноїд, псевдосфера відтворена також їхня внутрішність, яку видно крізь отвір. В цьому разі контур отвору с нерухомим екраном, що обмежує видиму внутрішність поверхні.

Табл.1.2 Поверхні в ортогональних проекціях та в ізометрії ізометрії

Поверхня

№ Рис.

Внунтрішнє рівняння

Вираз І в рівнянні (1.32)

Циліндр

U=0

Комп'ютерна графіка

Конус

u=0

Комп'ютерна графіка

Елыпсоїд

Комп'ютерна графіка

Комп'ютерна графіка

Гелікоїдальний

циліндр

Комп'ютерна графіка

Комп'ютерна графіка

Циклічна G-поверхня

Комп'ютерна графіка

Комп'ютерна графіка

Щодо побудови проекції обвидної, то в багатьох випадках це можна зробити, розв'язуючи рівняння (1.123) відносно однієї з дих змінних. Так для циліндра та конуса

(див. табл. 1.1) обидва розв'язки не залежать від другої змінної, для центральних поверхонь другого порядку рівняння (1.123) є квадратним відносно лінійної змінної. Розв'язки цього рівняння використано також для каналової поверхні, різьбленої поверхні Монжа, катеноїда, псевдосфери.

Для гранних поверхонь алгоритм визначення видимості полягає в порівнянні знаків лівої частини (1.123) для суміжних граней.

Якщо

Іі>0, Іі+1 > 0, (1.136)

то ребро, по якому перегинаються ці грані, видиме;

якщо

Іі Іі+1 < 0, (1.137)

то ребро контурне;

якщо

Іі<0, Іі+1 < 0, (1.138)

то ребро невидиме.

Моделювання розгорток

До розгортних належать такі поверхні:

багатогранники, циліндри, конуси та торси. Задача розгортування полягає в знаходженні функцій

Комп'ютерна графіка, (1.139)

або з урахуванням залежності прямокутних декартових координат точки на циліндрі чи конусі від відповідних спеціальних координат, в яких ці поверхні мають рівняння u=0,

Комп'ютерна графіка (1.140)

У формулах (1.139) та (1.140) xp, yp -- декартові прямокутні координати на площині розгортки, x, y, z — декартові прямокутні координати точки, що належать розгортній поверхні.

Циліндр. Для циліндра, радіус основи якого r формули (1.140) мають вигляд

Комп'ютерна графіка (1,141)

Правильна призма. Нехай правильна n-гранна призма описана навколо циліндра радіуса r і має висоту h. Кутовий параметр однієї з вершин відносно площини визначимо через tH. Апофеми бічних граней призми мають узагальнену циліндрічну координату

Комп'ютерна графіка. (1.142)

Знайдемо Комп'ютерна графіка а з умови

Комп'ютерна графіка (1.143)

дістанемо таке значення j = 1, при якому ця умова виконується.

Позначимо

Комп'ютерна графіка (1.144)

Тоді координата u точки на поверхні призми в узагальненій ціліндричній системі виражається рівністю

Комп'ютерна графіка (1.145)

Комп'ютерна графікаКомп'ютерна графіка

Рис.1.24


Комп'ютерна графікаКомп'ютерна графіка

Рис.1.23

Рис.1.25


Рис.1.26

Комп'ютерна графікаКомп'ютерна графіка

Комп'ютерна графікаКомп'ютерна графіка

Рис.1.27

Рис.1.28

Формули (1.141) мають вигляд

Комп'ютерна графіка, (1.146)

де v = z.

Нагадаємо, що координати точки x, y, z на поверхні призми вважаємо заданими.

Конус. У гіперболічних координатах рівнянням конуса є u = 0. Формули (1.140) набувають вигляду

Комп'ютерна графіка (1.147)

де  — кут між віссю та твірною конуса.

Правильна піраміда. Правильну піраміду віднесемо до вписаного в неї конуса. Кут  між його твірною та віссю входить до визначника піраміди. Як і для призми, tH — кутовий параметр однієї з вершин основи піраміди відносно площини х0z. Обчислимо ti за формулою (1.142), та р — за формулою (1.144),  та j — за формулою (1.143). Потім знаходимо:

Комп'ютерна графіка

Функції (1.140) мають вигляд

Комп'ютерна графіка. (1.148)

Па рис.1.23,1.28, наведено приклади програмної реалізації алгоритму визначення лінії взаємного перетину поверхонь та алгоритмів моделювання розгорток, На рис. 1.23 зображено конус і циліндр, які перетинаються. На рис.1.24 і рис. 1.26 подано розгортки конуса й циліндра відповідно з визначенням на розгортці лінії взаємного перетину.

На рис. 1.27 показано два циліндри, які


 
Загрузка...