REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Основні означення та факти з теорії визначників

Основні означення та факти з теорії визначників

Визначники другого та третього порядку.

Означення.Визначникомдругого порядкуОсновні означення та факти з теорії визначниківназивається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1.

Означення.Визначникомтретього порядкуОсновні означення та факти з теорії визначниківназивається число, яке обчислюється за правилом

Основні означення та факти з теорії визначників = x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.

Поняття матриці.

Матрицеюпорядкуm x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.

A = Основні означення та факти з теорії визначників.

Числа aij називаються елементами матриціA. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.

Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.

Поняття перестановки.

Нехай дана система різних елементів a1,a2,...,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.

Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.

Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1).

Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1), тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел (3,1), (3,2), (4,2), тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.

Теорема 1.

Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює Основні означення та факти з теорії визначників.

Поняття визначника n–го порядку.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = Основні означення та факти з теорії визначників.

Визначником n –го порядку матриціA називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .

Визначник  матриці A позначається так

 = Основні означення та факти з теорії визначників.

Числа aіj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається detA.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,

 = Основні означення та факти з теорії визначників

Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З'ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях (1,3),(2,1),(3,2),(4,4). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Аналітичний запис визначника.

Нехай

 = .

Кожен добуток, з яких складається визначник , можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді Основні означення та факти з теорії визначниківОсновні означення та факти з теорії визначників...Основні означення та факти з теорії визначників, де 1,2,...,n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s(1,2,...,n) число інверсій в перестановці 1,2,...,n. Тоді

 = Основні означення та факти з теорії визначниківОсновні означення та факти з теорії визначників,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n.

Лема про знак.

Нехай

 = .

і1,і2,...,іn та j1,j2,...,jnдві перестановки чисел 1,2,...,n. Тоді добуток Основні означення та факти з теорії визначниківОсновні означення та факти з теорії визначників...Основні означення та факти з теорії визначниківвходить до визначниказі знакомОсновні означення та факти з теорії визначників.

Друге означення визначника.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = .

Визначником n–го порядку матриціA називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .

Таким чином, на відміну від першого означення визначника, за другим означенням знак при добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні співмножників за другим індексом.

Теорема..

Два означення визначника еквівалентні.

Користуючись другим означенням визначник  матриці A можна записати аналітично так:

 = Основні означення та факти з теорії визначників,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,...,n.

Визначники трикутного вигляду.

Нехай

 = Основні означення та факти з теорії визначників.

У визначнику  можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ утворюють елементи


 
Загрузка...