REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Лінійні неоднорідні системи

Лінійні неоднорідні системи

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

Лінійні неоднорідні системи

чи у векторно-матричному вигляді

Лінійні неоднорідні системи

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв'язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор Лінійні неоднорідні системи є

розв'язком лінійної неоднорідної системи, a Лінійні неоднорідні системи розв'язком відповідної лінійної однорідної системи, то сумаЛінійні неоднорідні системи- є розв'язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

Лінійні неоднорідні системи і Лінійні неоднорідні системи.

Але тоді і

Лінійні неоднорідні системи

тобто є розв'язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори Лінійні неоднорідні системи ,Лінійні неоднорідні системи є розв'язками лінійних неоднорідних систем

Лінійні неоднорідні системи , ,

деЛінійні неоднорідні системи, то векторЛінійні неоднорідні системи, деЛінійні неоднорідні системи- довільні сталі буде розв'язком лінійної неоднорідної системи

Лінійні неоднорідні системи.

Дійсно, за умовою виконуютьсяЛінійні неоднорідні системи- тотожностей

Лінійні неоднорідні системи.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

Лінійні неоднорідні системи,

тобто лінійна комбінація буде розв'язком системи

.

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементамиЛінійні неоднорідні системи є розв'язком неоднорідної системи , де Лінійні неоднорідні системи, Лінійні неоднорідні системи , Лінійні неоднорідні системи, то окремо дійсна і уявна частини є розв'язками системи.

Дійсно, за умовою

Лінійні неоднорідні системи.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

Лінійні неоднорідні системи.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв'язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв'язку неоднорідної системи.

Доведення. НехайЛінійні неоднорідні системи- загальний розв'язок однорідної системи іЛінійні неоднорідні системи- частинний розв'язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума Лінійні неоднорідні системибуде розв'язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв'язок загальний, тобто підбором сталих, можна розв'язати довільну задачу Коші

Лінійні неоднорідні системи .

Оскільки- загальний розв'язок однорідного рівняння, то вектори Лінійні неоднорідні системи лінійно незалежні Лінійні неоднорідні системи і система алгебраїчних рівнянь

Лінійні неоднорідні системи

має єдине розв'язок Лінійні неоднорідні системи,. І лінійна комбінація Лінійні неоднорідні системис отриманими сталими , є розв'язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв'язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв'язку неоднорідної системи потрібно розв'язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв'язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему

і Лінійні неоднорідні системи- загальний розв'язок однорідної системи. Розв'язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати не сталими, а невідомими функціями, тобто Лінійні неоднорідні системиі Лінійні неоднорідні системи ,чи в матричній формі

Лінійні неоднорідні системи,

де Лінійні неоднорідні системи-фундаментальна матриця розв'язків,Лінійні неоднорідні системи - вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

Лінійні неоднорідні системи,

чи

Лінійні неоднорідні системи.

Оскільки - фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв'язків, то

Лінійні неоднорідні системи.

і залишається система рівнянь Лінійні неоднорідні системи.

Розписавши покоординатно, одержимо

Лінійні неоднорідні системи

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв'язок і функції Лінійні неоднорідні системивизначаються в такий спосіб

Лінійні неоднорідні системи

Лінійні неоднорідні системи

Лінійні неоднорідні системи

Звідси частинний розв'язок неоднорідної системи має вигляд

Лінійні неоднорідні системи.

Для лінійної неоднорідної системи на площині

Лінійні неоднорідні системи

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

Нехай

Лінійні неоднорідні системи.

Фундаментальна матриця розв'язків однорідної системи. Тоді частинний розв'язок неоднорідної шукається у вигляді

Лінійні неоднорідні системи

Звідси

Лінійні неоднорідні системиЛінійні неоднорідні системи

І загальний розв'язок має вигляд

Лінійні неоднорідні системи, Лінійні неоднорідні системи,

де Лінійні неоднорідні системи - довільні сталі.

4. Метод невизначених коефіцієнтів

Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функціяЛінійні неоднорідні системиспеціального виду, то частинний розв'язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв'язку зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих порядків.

1) Нехай кожна з компонент вектора Лінійні неоднорідні системи є многочленом степеня не більш ніж Лінійні неоднорідні системи, тобто

Лінійні неоднорідні системи.

а) Якщо характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто Лінійні неоднорідні системи, , то частинний розв'язок шукається в такому ж вигляді, тобто

Лінійні неоднорідні системи.

б) Якщо характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності Лінійні неоднорідні системи, тобто Лінійні неоднорідні системи, те частинний розв'язок шукається у вигляді многочлена степеня Лінійні неоднорідні системи, тобто

Лінійні неоднорідні системи.

Причому перші Лінійні неоднорідні системи- коефіцієнти Лінійні неоднорідні системи, Лінійні неоднорідні системи, Лінійні неоднорідні системи знаходяться точно, а інші з точністю до сталих інтегрування Лінійні неоднорідні системи, що входять у загальний розв'язок однорідних систем.

2) Нехай має вид

Лінійні неоднорідні системи.

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення Лінійні неоднорідні системи, тобто Лінійні неоднорідні системи, , то частинний розв'язок шукається в такому ж вигляді, тобто

Лінійні неоднорідні системи.

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , тобтоЛінійні неоднорідні системи, то частинний розв'язок шукається у вигляді

Лінійні неоднорідні системи.

І, як у попередньому пункті, перші - коефіцієнти , , знаходяться точно, а інші з точністю до сталої інтегрування .

3) Нехай має вигляд:

Лінійні неоднорідні системи

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значенняЛінійні неоднорідні системи, то частинний розв'язок шукається в такому ж вигляді, тобто

Лінійні неоднорідні системи

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , то частинний розв'язок має вигляд

Лінійні неоднорідні системи


 
Загрузка...