REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Системи диференціальних рівнянь

Системи диференціальних рівнянь

Загальна теорія

Співвідношення вигляду

Системи диференціальних рівнянь

називається системою Системи диференціальних рівнянь-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо система розв'язана відносно похідних і має вигляд

Системи диференціальних рівнянь

то вона називається системою в нормальній формі.

Визначення 1. Розв'язком системи диференціальних рівнянь називається набір неперервно диференційованих функцій Системи диференціальних рівнянь тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

У загальному випадку розв'язок системи залежить від- довільних сталих і має вигляд Системи диференціальних рівнянь і задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв'язок, що задовольняє початковим умовам (умовам Коші): Системи диференціальних рівнянь.

Визначення 2. Розв'язокСистеми диференціальних рівнянь називається загальним, якщо за рахунок вибору сталих Системи диференціальних рівнянь можна розв'язати довільну задачу Коші.

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості) можна розглядати два визначення інтеграла.

Визначення 3. 1. Функція Системи диференціальних рівнянь стала уздовж розв'язків системи, називається інтегралом системи.

2. Функція повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається інтегралом системи.

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності розв'язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям є функціональна незалежність.

Визначення 4. ІнтегралиСистеми диференціальних рівнянь, Системи диференціальних рівнянь, Системи диференціальних рівнянь, ... , Системи диференціальних рівнянь називаються функціонально незалежними, якщо не існує функції - змінних Системи диференціальних рівнянь такої, що Системи диференціальних рівнянь

Теорема. Для того щоб інтеграли

, ,... системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний від тотожного нуля, тобто

Системи диференціальних рівнянь

Визначення 5. Якщо Системи диференціальних рівнянь інтеграл системи диференціальних рівнянь, то рівність Системи диференціальних рівнянь називається першим інтегралом.

Визначення 6. Сукупність - функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь.

Власне кажучи загальний інтеграл - це загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

Теорема. (існування та єдиності розв'язку задачі Коші). Щоб система диференціальних рівнянь, розв'язаних відносно похідної, мала єдиний розв'язок, що задовольняє умовам Коші: Системи диференціальних рівнянь досить, щоб:

1) функції Системи диференціальних рівнянь були неперервними по зміннимСистеми диференціальних рівняньв околі точкиСистеми диференціальних рівнянь;

2) функції задовольняли умові Ліпшиця по аргументахСистеми диференціальних рівняньу тому ж околі.

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто

Системи диференціальних рівнянь

1. Геометрична інтерпретація розв'язків

Назвемо Системи диференціальних рівнянь -вимірний простір змінних Системи диференціальних рівняньрозширеним фазовим простором Системи диференціальних рівнянь. Тоді розв'язокСистеми диференціальних рівняньвизначає в просторі деяку криву, що називається інтегральною кривою. Загальний розв'язок (чи загальний інтеграл) визначає сім'ю інтегральних кривих, що всюди щільно заповнюють деяку область Системи диференціальних рівнянь (область існування та єдиності розв'язків). Задача Коші ставиться як виділення із сім'ї інтегральних кривих, окремої кривої, що проходить через задану початкову точкуСистеми диференціальних рівнянь

2. Механічна інтерпретація розв'язків

В евклідовому просторіСистеми диференціальних рівнянь змінних розв'язокСистеми диференціальних рівняньвизначає закон руху по деякій траєкторії в залежності від часу Системи диференціальних рівнянь. При такій інтерпретації функції Системи диференціальних рівнянь є складовими швидкості руху, простір зміни перемінних називається фазовим простором, система динамічної, а крива, по якій відбувається рух - фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної кривої на фазовий простір.

3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння

Системи диференціальних рівнянь

Розглянемо заміну змінних

Системи диференціальних рівнянь .

Тоді одержимо систему рівнянь

Системи диференціальних рівнянь

4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь

і заданий її розв'язокСистеми диференціальних рівнянь. Якщо цей розв'язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і її можна диференціювати

Системи диференціальних рівнянь

Підставивши замість Системи диференціальних рівнянь їх значення, одержимо

Системи диференціальних рівнянь

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо

Системи диференціальних рівнянь

Продовжуючи процес далі, одержимо

Системи диференціальних рівнянь

Системи диференціальних рівнянь

Таким чином, маємо систему

Системи диференціальних рівнянь

Припустимо, що Системи диференціальних рівнянь Тоді систему перших Системи диференціальних рівнянь- рівнянь

Системи диференціальних рівнянь

можна розв'язати відносно останніх змінних Системи диференціальних рівнянь і одержати

Системи диференціальних рівнянь

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо

Системи диференціальних рівнянь

Або, після перетворень

Системи диференціальних рівнянь,

одержимо одне диференціальне рівняння -го порядку.

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь першого порядку

Системи диференціальних рівнянь

зводиться до одного рівняння -го порядку

Системи диференціальних рівнянь

і системи рівнянь зв'язку

Зауваження. Було зроблене припущення, що . Якщо ця умова не виконана, то можна зводити до рівняння щодо інших змінних, наприклад відносноСистеми диференціальних рівнянь.

5. Комбінації, що інтегруються

Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

Системи диференціальних рівнянь.

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння

Системи диференціальних рівнянь,

яке є першим інтегралом системи.

Геометрично перший інтеграл являє собою -вимірну поверхню вСистеми диференціальних рівнянь-вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих

Якщо знайдено Системи диференціальних рівнянь-комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів

Системи диференціальних рівнянь

І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників Системи диференціальних рівнянь. Звідси з системи можна виразити - невідомих функцій Системи диференціальних рівняньчерез інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок доСистеми диференціальних рівнянь- рівнянь. Якщо Системи диференціальних рівнянь і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.

Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі

Системи диференціальних рівнянь

можна переписати у вигляді

.Системи диференціальних рівнянь.

При такій формі запису всі змінні Системи диференціальних рівнянь рівнозначні.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

Системи диференціальних рівнянь,

називається системою у симетричному вигляді.

При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість "пропорційності". А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність

Системи диференціальних рівнянь

Системи диференціальних рівнянь.


 
Загрузка...