REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Існування та єдиність розв'язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв'язку диференціальних рівнянь. Але, щоб використовувати ці методи, треба бути впевненим в існуванні розв'язку шуканого рівняння та в його єдиності.

Зараз значна частина теорем існування та єдиності розв'язків не тільки диференціальних, але й рівнянь інших видів доводиться методом стискуючих відображень.

Визначення. Простір Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість називається метричним, якщо для довільних двох точокІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованістьвизначена функціяІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, що задовольняє аксіомам:

1.Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, причому Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованістьтоді і тільки тоді, коли Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість;

2. Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість(комутативність);

3. Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість (нерівність трикутника).

Функція називається відстанню в просторі (метрикою простору ).

Приклад 1.6.1. Векторний Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість- вимірний простір Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість .

Нехай Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. За метрику можна взяти: Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

Приклад 1.6.2. Простір неперервних функцій на відрізку Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість позначається - Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. За метрику можна взяти

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованістьІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Визначення. Послідовність Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість називається фундаментальною, якщо для довільного Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість існує Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість таке, що при Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і довільному Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість буде Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

Визначення. Метричний простір називається повним, якщо довільна фундаментальна послідовність точок Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованістьпростору збігається до деякої точки Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість простору .

Теорема (принцип стискуючих відображень). Нехай в повному метричному просторі задано оператор Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, що задовольняє умовам.

1. Оператор переводить точки простору в точки цього ж простору, тобто якщоІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, то і Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

2. Оператор є оператором стиску, тобто

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, де Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість- довільні точки .

Тоді існує єдина нерухома точка Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, яка є розв'язком операторного рівняння Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і вона може бути знайдена методом послідовних відображень, тобто Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, де Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, причому Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, вибирається довільно.

Доведення. I. Візьмемо довільну точку Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і побудуємо послідовність Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. Покажемо, що побудована послідовність є фундаментальною. Дійсно

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

ОцінимоІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. Застосувавши Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість-разів правило трикутника, отримуємо

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Таким чином Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. И при достатньо великому : Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, тобто послідовністьІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованістьє фундаментальною і, в силу повноти простору , збігається до деякого елемента цього ж простора Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

II. Покажемо, що Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість є нерухомою точкою, тобто Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

Нехай від супротивногоІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. Застосувавши правило трикутника, одержимо Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.Оцінимо кожний з доданків.

1) Оскільки Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість , то при Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість будеІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

2)Оскільки послідовність є фундаментальною, то при буде Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

3) І, нарешті, Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Таким чиномІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, причомуІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість іІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованістьфіксовані, а Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість можна вибрати як завгодно малим. Отже Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, а в силу другої аксіоми метричного простору це значить, щоІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість.

III. Покажемо, що нерухома точка єдина. Нехай, від супротивного, існують дві точки Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і : Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. Але тоді Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість що суперечить припущенню про стислість оператора.

Таким чином, припущення про неєдиність нерухомої точки помилкове. З використанням теореми про нерухому точку доведемо теорему про існування та єдиність розв'язку задачі Коші диференціального рівняння, розв'язаного відносно похідної.

Теорема (про існування та єдиність розв'язку задачі Коші). Нехай у диференціальному рівнянні Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість функція Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість визначена в прямокутнику

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість і задовольняє умовам:

1) неперервна по та Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість у Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість ;

2) задовольняє умові Ліпшиця по змінній , тобто

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Тоді існує єдиний розв'язок Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість диференціального рівняння, який визначений приІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість , і задовольняє умові

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість , де Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Доведення. Розглянемо простір, елементами якого є функції Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, неперервні на відрізку Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість й обмеженіІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість. Введемо метрику


 
Загрузка...