REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь. Система

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо ввести векторні позначення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення ,Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення , Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення,

то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

а лінійну однорідну систему у вигляді

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення .

Якщо функціїСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення неперервні в околі точкиСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, товиконані умови теореми існування та єдиності розв'язку задачі Коші, і існує єдиний розв'язок

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

системи рівнянь, що задовольняє початковим даним

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

1. Властивості розв'язків лінійних однорідних систем

Властивість 1. Якщо векторСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення є розв'язком лінійної однорідної системи, то і Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, де Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення- стала скалярна величина, також є розв'язком цієї системи.

Дійсно, за умовою

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Але тоді і

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

оскільки дорівнює нулю вираз в дужках. Тобто Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення є розв'язком однорідної системи.

Властивість 2. Якщо дві векторні функції Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення,Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення є розв'язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв'язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення і Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Але тоді і

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

тому що дорівнюють нулю вираз в дужках, тобтоСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положенняє розв'язком однорідної системи.

Властивість 3. Якщо вектори Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, ... , Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення є розв'язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з довільними коефіцієнтами також буде розв'язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Але тоді і

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

тому що дорівнює нулю кожний з доданків, тобтоСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положенняє розв'язком однорідної системи.

Властивість 4. Якщо комплексний вектор з дійсними елементамиСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення є розв'язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є розв'язками системи.

Дійсно за умовою

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

що і було потрібно довести.

Визначення 1. Вектори , Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, ... , називаються лінійно залежними на відрізку Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, якщо існують не всі рівні нулю сталі Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення , такі, що Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення при .

Якщо тотожність справедлива лише приСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, то вектори лінійно незалежні.

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, тобто

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

називається визначником Вронського.

Теорема 1. Якщо векторні функції Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

Доведення. За умовою існують не всі рівні нулю Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, такі, що при .

Або, розписавши покоординатно, одержимо

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення .

А однорідна система має ненульовий розв'язок Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення .

Теорема 2. Якщо розв'язки - лінійної однорідної системи лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Доведення. Нехай, від супротивного, існує точкаСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення і Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

має ненульовий розв'язок Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення. Розглянемо лінійну комбінацію розв'язків з отриманими коефіцієнтами

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Відповідно до властивості 4, ця комбінація буде розв'язком. Крім того, як випливає із системи алгебраїчних рівнянь, для отриманих : Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення. Але розв'язком, що задовольняють таким умовам, є Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення. І в силу теореми існування та єдиності ці два розв'язки збігаються, тобто Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення при , або

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення,

або розв'язки лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

Таким чином, Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення у жодній точці , що і було потрібно довести.

Теорема 3. Для того щоб розв'язки були лінійно незалежні, необхідно і достатно, щоб Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення у жодній точці .

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв'язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних розв'язків.

Доведення. Як випливає з властивості 3, лінійна комбінація розв'язків також буде розв'язком. Покажемо, що цей розв'язок загальний, тобто завдяки вибору коефіцієнтів Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення можна розв'язати будь-яку задачу Коші Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення або в координатній формі:

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення .

Оскільки розв'язки лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

має єдиний розв'язок Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Тоді лінійна комбінація

є розв'язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв'язків дорівнює кількості рівнянь.

Це випливає з теореми про загальний розв'язок системи однорідних рівнянь, тому що будь-який інший розв'язок може бути представлений у вигляді лінійної комбінації Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення лінійно незалежних розв'язків.

Визначення. Матриця, складена з будь-яких -лінійно незалежних розв'язків, називається фундаментальною матрицею розв'язків системи.

Якщо лінійно незалежними розв'язками будуть

, , ... , Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення,

то матриця

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

буде фундаментальною матрицею розв'язків.

Як випливає з попередньої теореми загальний розв'язок може бути представлений у вигляді

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення ,

де Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення - довільні сталі. Якщо ввести вектор Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, то загальний розв'язок можна записати у вигляді Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

2. Формула Якобі

Нехай - лінійно незалежні розв'язки однорідної системи, Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення- визначник Вронського. Обчислимо похідну визначника Вронського

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Оскільки для похідних виконується співвідношення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

.................................................

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

то після підстановки одержимо

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положенняСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Розкривши кожний з визначників, і з огляду на те, що визначники з однаковими стовпцями дорівнюють нулю, одержимо

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положенняСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Або

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Розділивши змінні, одержимо

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Проінтегруємо в межах Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення,

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення,

або

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Взагалі кажучи, доведення проводилося в припущенні, що система рівнянь може залежати від часу, тобто

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення.

Отримана формула називається формулою Якобі.


 
Загрузка...