REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Лінійні рівняння першого порядку

Лінійні рівняння першого порядку

1. Загальна теорія

Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий:

Лінійні рівняння першого порядку.

Якщо Лінійні рівняння першого порядку, тобто рівняння має вигляд

Лінійні рівняння першого порядку,

то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв'язується таким чином:

Лінійні рівняння першого порядку

Нарешті Лінійні рівняння першого порядку.

Розв'язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв'язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв'язок однорідного, але Лінійні рівняння першого порядку вважається невідомою функцією від Лінійні рівняння першого порядку, тобтоЛінійні рівняння першого порядку і Лінійні рівняння першого порядку. Для знаходженняЛінійні рівняння першого порядку підставимо Лінійні рівняння першого порядку у рівняння

Лінійні рівняння першого порядку.

Звідси

Лінійні рівняння першого порядку

Проінтегрувавши, одержимо

Лінійні рівняння першого порядку.

І загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд

Лінійні рівняння першого порядку

Якщо використовувати початкові умови Лінійні рівняння першого порядку, то розв'язок можна записати у формі Коші:

Лінійні рівняння першого порядку.

2. Рівняння Бернуллі

Рівняння вигляду

Лінійні рівняння першого порядку

називається рівнянням Бернуллі. Розділимо на Лінійні рівняння першого порядку і одержимо

Лінійні рівняння першого порядку

Зробимо заміну: Лінійні рівняння першого порядку.

Підставивши в рівняння, отримаємо

Лінійні рівняння першого порядку

Одержали лінійне диференціальне рівняння. Його розв'язок має вигляд

Лінійні рівняння першого порядку

3. Рівняння Рікатті

Рівняння вигляду

Лінійні рівняння першого порядку

називається рівнянням Рікатті. В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується. Відомі лише деякі частинні випадки рівнянь Рікатті, що інтегруються в квадратурах. Розглянемо один з них. Нехай відомий один частинний розв'язокЛінійні рівняння першого порядку. Робимо заміну Лінійні рівняння першого порядку і одержуємо

Лінійні рівняння першого порядку

ОскількиЛінійні рівняння першого порядку - частинний розв'язок, то

Лінійні рівняння першого порядку.

Розкривши скобки і використовуючи вказану тотожність, одержуємо

Лінійні рівняння першого порядку

Перепишемо одержане рівняння у вигляді

Лінійні рівняння першого порядку,

це рівняння Бернуллі з Лінійні рівняння першого порядку.


 
Загрузка...