REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Визначені та невласні інтеграли

Визначені та невласні інтеграли

Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях.

1. Означення та властивості визначеного інтеграла

1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х)Визначені та невласні інтеграли 0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками

а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

ДВизначені та невласні інтегралиовжини цих частин

Визначені та невласні інтеграли

П

мал. 1

ерпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою Визначені та невласні інтегралита висотою Визначені та невласні інтеграли, де Визначені та невласні інтеграли. Площа кожного такого прямокутника дорівнює Визначені та невласні інтеграли

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

Визначені та невласні інтеграли

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто

Визначені та невласні інтеграли

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина Визначені та невласні інтеграли.

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли Визначені та невласні інтеграли Тоді

Визначені та невласні інтеграли (1)

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,...,Δtn.

Позначимо через Визначені та невласні інтеграли довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо Визначені та невласні інтегралиВизначені та невласні інтеграли.

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях Визначені та невласні інтеграли а за час T - t0 вона пройде шлях

Визначені та невласні інтеграли

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто

Визначені та невласні інтеграли (2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення

а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Δхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції Визначені та невласні інтеграли.

Побудуємо суму Визначені та невласні інтегралияку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при Визначені та невласні інтеграли, незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Визначені та невласні інтеграли

Математично це означення можна записати так:

Визначені та невласні інтеграли (3)

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді

Визначені та невласні інтегралиВизначені та невласні інтеграли (4)

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3. Основні властивості визначеного інтеграла

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то

Визначені та невласні інтеграли

2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто

Визначені та невласні інтеграли

3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

Визначені та невласні інтеграли

4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

Визначені та невласні інтеграли

для будь-якої функції f (х).

5 Якщо f (х)Визначені та невласні інтегралиВизначені та невласні інтеграли(х),хВизначені та невласні інтеграли[а, b], то Визначені та невласні інтеграли

6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то

Визначені та невласні інтеграли

7Визначені та невласні інтеграли де Визначені та невласні інтеграли

8Визначені та невласні інтегралиВизначені та невласні інтеграли

1.4.


 
Загрузка...