REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів


Загрузка...

Головна Математика, Геометрія → Границя та неперервність функцій багатьох змінних

"Границя та неперервність функцій багатьох змінних"

Границя функції двох змінних

Означення. Число А називається границею функційГраниця та неперервність функцій багатьох зміннихпри Границя та неперервність функцій багатьох змінних якщо для будь-якого Границя та неперервність функцій багатьох змінних існує число Границя та неперервність функцій багатьох змінних, таке що в разі виконання нерівності

Границя та неперервність функцій багатьох змінних,

справджується нерівність Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Позначають:

Границя та неперервність функцій багатьох змінних,

або

Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Наслідок.Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Теорема 1.1. Якщо функція Границя та неперервність функцій багатьох зміннихмає границю при Границя та неперервність функцій багатьох змінних, то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція має границю при то вона обмежена в деякому околі точки Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Теорема 1.3. Якщо Границя та неперервність функцій багатьох змінних, і в деякому виколотому околі точки Границя та неперервність функцій багатьох змінних виконується нерівність Границя та неперервність функцій багатьох зміннихто Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Наслідок. Якщо Границя та неперервність функцій багатьох змінних у деякому околі точки і Границя та неперервність функцій багатьох змінних існує, то ця границя невід'ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо ,то виконуються нерівності:

1) Границя та неперервність функцій багатьох змінних

2) Границя та неперервність функцій багатьох змінних

3) Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Означення. Якщо Границя та неперервність функцій багатьох зміннихГраниця та неперервність функцій багатьох змінних, то функція називається нескінченно малою при .

Приклад. Обчислити Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

Границя та неперервність функцій багатьох зміннихГраниця та неперервність функцій багатьох змінних

дістанемо:

Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо Границя та неперервність функцій багатьох змінних (Границя та неперервність функцій багатьох змінних--функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють Границя та неперервність функцій багатьох змінних.Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближення до точки можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.

Очевидно що рівність Границя та неперервність функцій багатьох змінних справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Приклад: довести, що Границя та неперервність функцій багатьох змінних не існує.

Наближаємося до точки (0,0) по прямій Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Границя та неперервність функцій багатьох змінних

зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при Границя та неперервність функцій багатьох змінних границя дорівнює Границя та неперервність функцій багатьох змінних

при Границя та неперервність функцій багатьох змінних границя дорівнює Границя та неперервність функцій багатьох змінних і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що не існує.

Зауваження. Для функції Границя та неперервність функцій багатьох змінних змінних можна розглядати Границя та неперервність функцій багатьох змінних! так званих повторних границь.

У частковому випадку для функції двох змінних можна розглядати дві повторні границі в точці :

Наприклад, для функції Границя та неперервність функцій багатьох змінних маємо

Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі Границя та неперервність функцій багатьох змінних не існує, але повторні границі існують: Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Неперервність функцій двох змінних

Означення. Функція називається неперервноюв точці Границя та неперервність функцій багатьох змінних, якщо

Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Означення. Функція неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині Границя та неперервність функцій багатьох змінних, називають неперервною за множиною Границя та неперервність функцій багатьох змінних в точці Границя та неперервність функцій багатьох змінних, якщо

Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Означення. Точка називається точкою розриву функції , якщо:

  • функція не визначена в точці ;

  • функція не визначена в точці , проте:

    • не існує;

    • існує, але не дорівнює Границя та неперервність функцій багатьох змінних

    Означення. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо існує, але або не визначена в точці , або Границя та неперервність функцій багатьох змінних

    Неперервність складеної (складної) функції двох змінних

    Означення. Нехай функція Границя та неперервність функцій багатьох змінних визначена на множині Границя та неперервність функцій багатьох змінних,а змінні Границя та неперервність функцій багатьох змінних і Границя та неперервність функцій багатьох змінних, у свою чергу, залежать від змінних і Границя та неперервність функцій багатьох змінних: Границя та неперервність функцій багатьох змінних, причому обидві функції Границя та неперервність функцій багатьох змінних та Границя та неперервність функцій багатьох змінних визначені на множині Границя та неперервність функцій багатьох змінних. Якщо для будь-якого Границя та неперервність функцій багатьох змінних існує значення Границя та неперервність функцій багатьох змінних, то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де ; ,--проміжні, , --незалежні змінні.

    Приклад. Функція Границя та неперервність функцій багатьох змінних, де Границя та неперервність функцій багатьох змінних Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних

    Теорема 1.6. нехай на множині визначено складену функцію , де і нехай функції Границя та неперервність функцій багатьох змінних неперервні в точці , а функція Границя та неперервність функцій багатьох змінних неперервна в точці Границя та неперервність функцій багатьох змінних, де Границя та неперервність функцій багатьох зміннихТоді складена функція Границя та неперервність функцій багатьох змінних неперервна в точці .

    Доведення. За умовою теореми функція неперервна. За означенням неперервності функції в точці візьмемо довільне число , тоді існує , що з нерівності

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних (5)

    випливає нерівність

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних

    Аналогічно функції за умовою теореми неперервні, тому існують такі Границя та неперервність функцій багатьох змінних і Границя та неперервність функцій багатьох змінних, що з нерівностей

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних і Границя та неперервність функцій багатьох змінних

    випливають нерівності

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних (6),(7)

    Нехай Границя та неперервність функцій багатьох змінних. Тоді з нерівності

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних (8)

    дістанемо нерівності (6) і (7).

    З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

    Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо

    Границя та неперервність функцій багатьох змінних,

    а це означає, що складена функція неперервна в точці .


  •  
    Загрузка...