REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)

Вступ

Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.

В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів раціональної апроксимації функцій. Це повязано з тим, що такі апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки. Потрібно відмітити також, що останнім часом ми стаємо свідками позитивної тенденції, згідно якої сучасні математичні дослідження все більше і більше ініціюються найбільш передовими фізичними теоріями та прикладними обчислювальними задачами, серед яких і спроби обєднати слабкі, електромагнітні, сильні та гравітаційні взаємодії у фізиці і проблеми ефективної компресії аудіо-візуальної інформації на підставі аналізу спектра сигналу в обчислювальній математиці та ще багато інших не менш цікавих задач.

В даній науково-дослідній роботі зроблена спроба аналізу одного з прикладних методів апроксимації функції – метода Течера-Тьюкі на предмет його придатності до використання в обчислювальних задачах та наявність переваг перед іншими методами.

1. Постановка задачі інтерполяції функції

Нехай дійсна функція f(x) неперервна на проміжку [a,b] та визначена своїми значеннями в точках множини

Х={x0, x1, ... , xn}, де Х  [a,b].

Потрібно знайти значення функції в точці х, яка відмінна від заданих. Виходячи з деяких додаткових міркувань, наближаючу функцію будемо шукати у вигляді

f(x)  g(x, Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)) , де – деякі параметри.

Означення 1. Якщо параметри визначаються з умови рівності значень

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , i = 0,1,...,n

то точки Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) називаються вузлами інтерполяції, а такий спосіб наближення функції називається інтерполяцією або інтерполюванням.

Означення 2. У випадку, коли апроксимуючу функцію вибирають у вигляді лінійної комбінації функцій із заданої сукупності, тобто

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)(1)

то говорять про лінійнуінтерполяцію, а функцію Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) називають узагальненим інтерполяційним многочленом.

Означення 3. Якщо апроксимуюча функція не може бути подана у вигляді (1), то таке наближення називається нелінійною інтерполяцією.

Означення 4. Величина

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)

називається залишковим членом узагальненого інтерполяційного многочлена.

Надалі будемо вважати, що Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) та Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), коли ij, тобто розглядається така задача інтерполяції, коли всі вузли різні.

Виберемо в Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) – просторі неперервних на Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) функцій, скінчену або злічену сукупність функцій Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), таких, що довільна скінчена система їх є лінійно незалежною. На практиці найчастіше використовують такі системи функцій:

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , де Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) – деяка числова послідовність.

Коефіцієнти в (1) визначимо з умови, що наближуючий агрегат збігається у вузлах інтерполяції із значенням функції, тобто

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , i=0,1,...,n (2)

З (1) та (2) випливає, що для знаходження коефіцієнтів отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)

і якщо

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)

то при довільних значеннях Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , i=0,1,...,n система має єдиний розвязок

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , (3)

де

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)(4)

формується з Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) за правилом Крамера.

Означення 5. Система функцій Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), i=0,1,...,n називається системою Чебишова порядка n, якщо узагальнений многочлен

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція),

який має більше ніж n коренів на Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), тотожньо рівний нулеві, тобто Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) для всіх і=0,1,...,n.

Теорема 1.Для того, щоб для довільної функції Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) існував узагальнений інтерполяційний многочлен для будь-якого набору вузлів Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) , і=0,1,...,n, необхідно і досить, щоб Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) була системою функцій Чебишова на Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція). При виконанні цих умов узагальнений інтерполяційний многочлен буде єдиним.

Відомо, що всі три вище наведені сукупності функцій є системами функцій Чебишова на довільному .

Якщо визначник (4) розвити за і-м стовпчиком, то (3) перепишеться у вигляді

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)

де Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), i,k=0,1,...,n – відповідні алгебраїчні доповнення, і тоді

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) Якщо згрупувати подібні члени при однакових значеннях, то отримаємо

Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція)(5)

Зауваження 1. Функції Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) не залежать від Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція), є лінійними комбінаціями Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі (дробово-раціональна інтерполяція) та


 
Загрузка...