REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Лінійні однорідні рівняння

План

  • Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

  • Характеристичне рівняння

  • Загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв'язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядкуз постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

Лінійні однорідні рівняння (12.38)

де Лінійні однорідні рівняння і Лінійні однорідні рівняння- сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв'язки цього рівняння . Будемо шукати розв'язок Лінійні однорідні рівняння рівняння (12.38) у вигляді експоненти Лінійні однорідні рівнянняде Лінійні однорідні рівняння- поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить Лінійні однорідні рівняння, а це дозволяє легко знайти розв'язок (12.38).

Справді, запишемо Лінійні однорідні рівняння та Лінійні однорідні рівняння:Лінійні однорідні рівняння

Підставляючи ці похідні, а також функцію Лінійні однорідні рівнянняв рівняння (12.62), одержимо

Лінійні однорідні рівняння

Оскільки маємо

Лінійні однорідні рівняння (12.39)

Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

1) Лінійні однорідні рівнянняі Лінійні однорідні рівняння - дійсні, причому не рівні між собою числа Лінійні однорідні рівняння;

2) Лінійні однорідні рівнянняі Лінійні однорідні рівняння- комплексні числа (Лінійні однорідні рівняння);

3) Лінійні однорідні рівнянняі Лінійні однорідні рівняння- дійсні рівні числа Лінійні однорідні рівняння

Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.

1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:Лінійні однорідні рівняння

Відповідні частинні розв'язки Лінійні однорідні рівняння та

Лінійні однорідні рівняння лінійно незалежні, бо Лінійні однорідні рівняння

Загальний розв'язок рівняння (12.38) має вигляд

Лінійні однорідні рівняння (12.40)

де Лінійні однорідні рівняння і Лінійні однорідні рівняння- довільні сталі.

2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай Лінійні однорідні рівняння. Частинні розв'язки Лінійні однорідні рівняння і Лінійні однорідні рівняння є комплексними функціями дійсного аргументу:

Лінійні однорідні рівняння

або

Лінійні однорідні рівняння

Неважко переконатися, що функція Лінійні однорідні рівняння та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв'язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція Лінійні однорідні рівняння є розв'язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то Лінійні однорідні рівняння та Лінійні однорідні рівняння також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

Лінійні однорідні рівняння

Лінійні однорідні рівняння

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

Зауважимо, що розв'язки та лінійно незалежні:

Лінійні однорідні рівняння

Отже, загальний розв'язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

Лінійні однорідні рівняння (12.41)

де Лінійні однорідні рівняння і Лінійні однорідні рівняння - довільні сталі.

3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: Лінійні однорідні рівняння При цьому один частинний розв'язок знаходиться, як у випадку 1): Лінійні однорідні рівняння Другий частинний розв'язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді Лінійні однорідні рівняння де Лінійні однорідні рівняння- невідома функція. Знайдемо і :

Лінійні однорідні рівнянняЛінійні однорідні рівняння

Лінійні однорідні рівняння

Підставимо Лінійні однорідні рівняння та Лінійні однорідні рівняння у рівняння (12.38):

Лінійні однорідні рівняння (12.42)

Оскільки Лінійні однорідні рівняння- корінь характеристичного рівняння, Лінійні однорідні рівняння а дискримінант дорівнює нулю (корінь Лінійні однорідні рівняння кратний), то Лінійні однорідні рівняння або Лінійні однорідні рівняння Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на Лінійні однорідні рівняння набуває вигляду Лінійні однорідні рівняння. Його загальний розв'язок Лінійні однорідні рівняння отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд Лінійні однорідні рівняння Зокрема, якщо вибрати Лінійні однорідні рівняння , розв'язок Лінійні однорідні рівняння буде лінійно незалежним відносно Лінійні однорідні рівняння:

Лінійні однорідні рівняння

Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд

Лінійні однорідні рівняння (12.43)

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

а) Лінійні однорідні рівняння б) Лінійні однорідні рівняння в) Лінійні однорідні рівняння

У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд Лінійні однорідні рівняння або Лінійні однорідні рівняння Звідси маємо Лінійні однорідні рівняння(випадок1).

Згідно з формулою (12.40) загальним розв'язком рівняння буде функція Лінійні однорідні рівняння.

У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння Лінійні однорідні рівняння Його корені – комплексно спряжені числа: Лінійні однорідні рівняння (випадок 2). При цьому Загальний розв'язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде Лінійні однорідні рівняння

У прикладі в) корені Лінійні однорідні рівняння і Лінійні однорідні рівняння характеристичного рівняння Лінійні однорідні рівняння збігаються: Лінійні однорідні рівняння Загальний розв'язок згідно з формулою (12.43) має вигляд Лінійні однорідні рівняння

Приклад 2. Матеріальна точка маси Лінійні однорідні рівняння рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра Лінійні однорідні рівняннясилою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.

Р о з в ' я з о к. Згідно з умовою сила, з якою притягується точка, подається у вигляді Лінійні однорідні рівняння, де Лінійні однорідні рівняння- коефіцієнт пропорційності, Лінійні однорідні рівняння- відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (Лінійні однорідні рівняння- час)

Лінійні однорідні рівняння .

Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді

Лінійні однорідні рівняння (12.44)

Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння

Лінійні однорідні рівняння

причому Лінійні однорідні рівняння Корені Лінійні однорідні рівняння та Лінійні однорідні рівняння- комплексно спряжені числа Лінійні однорідні рівняння Отже, загальний розв'язок рівняння (12.68) має вигляд

Лінійні однорідні рівняння (12.45)

Знайдемо частинний розв'язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам Лінійні однорідні рівняння.

Поклавши Лінійні однорідні рівняння у рівність (12.45), отримаємо Лінійні однорідні рівняння Про диференціюємо обидві частини (12.45):

Лінійні однорідні рівняння

При Лінійні однорідні рівнянняЛінійні однорідні рівняння звідси Лінійні однорідні рівняння Отже, шуканим розв'язком задачі Коші буде

Лінійні однорідні рівняння


 
Загрузка...