REFERATUA.ORG.UA — База українських рефератів



Головна Математика, Геометрія → Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості















Пошукова робота на тему:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

План

  • Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла

  • Означення подвійного інтеграла

  • Теорема існування

  • Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

Визначення об'єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, знизу - площиною Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Область Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, що висікається в площині Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостіциліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і верхньою частиною кулі Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Поставимо задачу про визначення об'єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості неперервна в області

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і що поверхня повністю лежить над площиною Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, тобто Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості скрізь в області Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Розіб'ємо область Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостіякими-небудь лініями на Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостічастин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостівиберемо точки Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і позначимо через Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості. Тоді циліндричне тіло буде розбите на Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, в результаті дістанемо об'єм Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості - ступінчастого тіла:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості(11.1)

Ця сума називається інтегральною сумою для функції Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості в області Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Беручи об'єм Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об'єму побудованого Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості - ступінчастого тіла, вважатимемо, що Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості тим точніше виражає Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, чим більше Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості).

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості


Відповідно до викладеного беремо шуканий об'єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості при Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості:

Рис.11.1

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості. (11.2)

Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об'єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості (або Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості ) за областю Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, а її результат – означеним інтегралом від Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості по Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і позначається так:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Отже, об'єм циліндричного тіла

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості. (11.3)

Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості, задано тіло (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості ( Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості). Потрібно визначити масу тіла . Розіб'ємо на Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостічастин Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості об'єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості або Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

Виберемо довільним чином в кожній частині точку Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостіі тоді маса тіла (по аналогії із об'ємом циліндричного тіла) дорівнює

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості


Рис.11.2 Рис.11.3

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості (11.4)

Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості , що задана в трьохвимірному просторі .

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

Отже,

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостіЗадачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості (11.5)

До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об'єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостівимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1) ми визначали для дуже простої множини – відрізку Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі, Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об'єму або взагалі Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивостівимірної міри цих частин.

1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

Поняття про міру Жордана 1). В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1) якщо Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості прямокутник з основою Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і висотою Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості то Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

2) якщо Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості мають міри Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості то Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

3) якщо область Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості і Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості то

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

Існують множини


 
Загрузка...